“首先，我们给这幅‘平面网格’图中不是三角形的网格加上对角线，将它切割成三角形。每增加一条对角线，E和F的值会各增加1，但数学式VE+F的结果保持不变。通过这种方式，将图中所有网格切割成三角形。在这幅‘三角化’的网格图中，VE+F的值始终等于初始值，因为增加对角线不会影响这个数学式的结果。
“某些三角形的边位于整个网格图的边缘，其中部分三角形（例如ABC）只有一条边位于图形边缘，另一些三角形可能有两条边位于图形边缘。对于这些靠边的三角形，我们移除它不与其他三角形共用的部分。比如说，对于三角形ABC，我们可以移除边AC和它的面，最后剩下顶点A、B、C和两条边AB、BC；而对于三角形DEF，我们可以移除它的面，两条边DF和FE，以及顶点F。
“移除ABC这样的三角形会导致E和F的值各减1，因此VE+F的结果保持不变；而要是移除DEF这样的三角形，V的值会减1，E的值减2，F的值减1，故VE+F同样不变。按照适当的顺序，我们可以依次移除所有靠边的三角形（在这个过程中，网格图的边缘会不断变化），最终只剩下一个三角形，它拥有三条边、三个顶点和一个面。在最后这个简单的网格图里，VE+F=33+1=1。而我们此前已经看到，在移除三角形的整个过程中，VE+F的值始终保持不变；反推可知，在最初的那幅平面网格图里，VE+F的值必然也等于1，而这幅图又比原始的多面体少了一个面，所以对原始的完整多面体而言，VE+F=2。欧拉的公式由此得证。”
欧拉的公式还证明了一个有趣的推论：正多面体只可能有五种，也就是那五个。
不过要是仔细审视上述几页的讨论，你也许会发现，在绘制所示的“所有可能形状的”多面体以及证明欧拉定理的过程中，我们都做出了一个隐藏的假设，这个假设在相当程度上限制了我们的选择。可以说，我们讨论的只是没有通孔的多面体。这里所说的“通孔”不是气球上的洞，而是更类似甜甜圈或者橡胶轮胎中间的那个孔。
现在我们来看看欧拉定理是否适用于这两个新立方体。
对于左边的图形，我们一共数出来16个顶点、32条边和16个面，因此V+F=32，但E+2=34。右边的图形有28个顶点、60条边和30个面，所以V+F=58，而E+2=62。这就更不对了！
为什么会发生这种情况，我们对欧拉定理所做的证明为何不适用于这两个例子？
当然，问题在于，我们之前考虑的多面体都是类似足球内胆或者气球的形状，但新的中空多面体却更像轮胎，或者其他什么更复杂的橡胶产品。对于这样的多面体，我们无法实施上述证明过程中所必需的一个步骤——还记得在证明开始的时候我们是怎么说的吗？“切掉空心多面体的一个面，将剩余的部分在平面上摊开展平。”
如果给你一个足球内胆，让你用剪刀剪掉它的部分表面，然后将它摊平，这当然毫无难度。但对于橡胶轮胎，无论付出多大的努力你都无法做到同样的事情。要是还不能说服你的话，你可以自己找一条旧轮胎试试！
但是，我们也不能认为这些复杂多面体的V、E和F就毫无关系。它们的确有关，只是和欧拉定理的描述不太一样。对于甜甜圈形状的多面体——或者换个更科学的名字，环形多面体——来说，V+F=E；“椒盐卷饼”形的多面体，V+F=E2。通用公式可表达为：V+F=E+22N，其中N代表通孔[32]的数量。
另一个典型的拓扑学问题和欧拉定理的关系也很密切，它就是所谓的“四色问题”。假设有一个划分为若干区域的球面，现在我们要给球面上色，使得任意两个相邻区域（即拥有共同边界的区域）的颜色各不相同。要完成这个任务，我们最少需要几种不同的颜色？显而易见，两种颜色肯定不够用，因为在三个区域交于一点的时候，我们至少需要给这三个州涂上不同的颜色。
不用费太多工夫，我们还能找到需要四种颜色的场合。[33]
但不管你怎么尝试，无论是在球形的地球仪上还是在平面的地图上[34]，都绝对找不到需要四种颜色的场合。看来无论地图有多复杂，四种颜色都足以区分相邻的区域。
呃，如果这种说法是对的，那么我们应该能从数学上证明它，然而数学家经过了几代的努力，却一直没能成功。这又是一个典型的“实际上没人怀疑，但谁也无法证明”的数学定理。[35]从数学上说，目前我们只能证明五种颜色肯定够用，证明过程基于欧拉公式的应用，根据国家数量、边界线数量以及多国交界处三重、四重等交点的数量，得出目前的结果。
上色问题具体的证明过程相当复杂，而且离题甚远，在此不加赘述，不过读者可以在各种拓扑学书籍中找到它，借此消磨一个愉快的夜晚（说不定还会熬个通宵）。如果有谁能证明不光五种颜色够用，而且只需要四种颜色就足以绘出任意地图；或者怀疑四种颜色不够用，进而亲手画出了需要超过四种颜色的地图，这两个方向的尝试只要有一个能获得成功，那么在未来的数百年里，这位智者的大名都将被镌刻在理论数学的编年史上。
不过讽刺的是，尽管上色问题在平面和球面上无法得到证明，但在另一些更复杂的面（例如甜甜圈或者椒盐卷饼）上，我们却能用一种相对简单的方法来证明它。比如说，已经有人成功地证明了在一个甜甜圈状的面上，七种颜色足以绘制出任意相邻区域颜色各不相同的地图，而且他们也找到了实例，某些情况下，我们的确需要七种颜色。
要是哪位读者朋友想再头疼一会儿，那么不妨找个充气轮胎和七种色彩的颜料，试着画一个某种颜色和其他六种颜色相邻的图形。完成这个任务以后，你或许可以说“我对付甜甜圈真的很有一套”。
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