“有人认为沙子的数量多得数不清；我说的不仅仅是锡拉丘兹或者整个西西里岛的沙子，而是地球上有人或无人居住的所有地方的所有沙子。另一些人并不这样认为，但他们觉得我们想不出一个足够大的数字来描述地球上的沙子数量。这些人显然也同样觉得，如果有一座和地球一样大的沙堆，而且地面上所有的海洋和盆地都已被沙子填满、堆高，一直堆到和最高的山峰齐平，那么我们更不可能想出办法来描述这个沙堆中所有沙子的数量。但现在我想说的是，我的方法不仅能描述地球上所有沙子的数量，或者刚才那个大沙堆中的沙子数量——哪怕有个宇宙那么大的沙堆，我们也能准确描述它拥有多少沙子。”
阿基米德在这本著作中介绍的描述极大数字的方法和我们今天的科学记数法十分相似。他先是采用了古埃及算术中最大的数字“myriad”，即一万。然后阿基米德引入了一个新的数字，“myriadmyriad”（一万的一万倍，即一亿），他称之为“octade”，或者说“第二级单位”；以此类推，“octadeoctades”（一亿亿）被称为“第三级单位”，“octadeoctadeoctades”就是“第四级单位”。
今天的我们或许觉得这样的记数法过于琐碎，描述一个数可能要花费好几页的篇幅，但在阿基米德那个时代，这种描述大数字的方法的确是个大发现，也是古人探索数学的重要一步。
要计算能填满整个宇宙的沙子数量，阿基米德首先得弄清宇宙到底有多大。当时人们相信，整个宇宙装在一个水晶球里面，所有星星都镶嵌在水晶球上；同时代著名天文学家萨摩斯的阿里斯塔克斯（AristarchusofSamos）估算，地球到宇宙水晶球边缘的距离是10,000,000,000视距，即1,000,000,000英里左右。[4]
根据宇宙球的大小和沙子的尺寸，阿基米德做了一系列能让高中学生做噩梦的计算，最后他得出结论：
“根据阿里斯塔克斯估算的宇宙球尺寸，能填满这个空间的沙子数量不大于一千万个第八级单位。”[5]
你或许会注意到，阿基米德估算的宇宙半径比科学家现在所认为的小得多。十亿英里的距离还不够我们走到土星轨道。正如我们将在后文中看到的，目前的望远镜已经将可观测宇宙的范围拓展到了5,000,000,000,000,000,000,000英里以外，那么要填满整个宇宙，需要的沙子肯定超过10100（1后面100个0）粒。
当然，这个数比本章开头介绍的宇宙总原子数量（3×1074）大得多，但我们不能忘了，原子并未填满整个宇宙；事实上，宇宙中每立方米的空间内平均只有大约1个原子。
但要获得极大的数字，我们不一定非得用沙子填满整个宇宙。事实上，一些极大的数字常常来自非常简单的问题，初看之下，你肯定觉得这种问题的答案最多不过几千而已。
印度的舍罕王就吃过这种天文数字的苦头。传说大维齐尔[6]西萨·本·达希尔（SissaBenDahir）向舍罕王献上了自己发明的象棋，国王高兴之余，打算赐给他奖赏。聪明的大维齐尔提出了一个看起来十分谦逊的要求。“陛下，”他跪在国王身前说道，“请在棋盘的第一个格子里放一粒小麦，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒。每个格子里的小麦数量是前一个格子的两倍，这样填满整张棋盘的64个格子。噢，我的王，这就是我要的奖赏。”
“哦，我忠诚的仆人，你要的的确不多。”国王暗自得意。象棋太神奇了！为了奖励这个游戏的发明者，他做出了慷慨的姿态，最后却所费不多，真是皆大欢喜。于是他说，“你的要求当然会得到满足。”然后他命令卫士送来了一袋麦子。
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