要是能列出一个公式来自动寻找所有质数（而且只有质数），那岂不是更快、更简单？然而数学家琢磨了十几个世纪，依然没有找到这样的公式。1640年，法国著名数学家费马（Fermat）提出了一个公式，他认为这个式子算出的结果都是质数。
费马的公式是这样的：，其中n代表自然数，例如1、2、3、4等等。
利用这个公式，我们可以得出如下结果：
22+1=5
事实上，这几个数的确都是质数。不过大约一个世纪以后，德国数学家欧拉（Euler）却发现，按照费马的公式得出的第五个数（）不是质数，事实上，这个数等于6700417和641的乘积，费马计算质数的经验公式也因此被证伪了。
另一个能够算出大量质数的重要公式如下：
n2n+41
这个公式中的n同样是自然数。我们将1到40的自然数代入这个公式，得到的结果都是质数，但不幸的是，这个式子走到第41步的时候栽了个跟头。
事实上，
41241+41=412=41×41
这是一个平方数，不是质数。
我们再介绍一个试图寻找质数的公式：
n279n+1601
这个质数公式适用于79以内的自然数，但被80打败了！
所以我们直到现在都没能列出一个只能算出质数的通用公式。
数论中还有一个既没被证明也没被证伪的有趣问题，人称“哥德巴赫猜想”（Goldbachconjecture）。这个猜想是在1742年提出的，它宣称任何一个偶数都能表示为两个质数之和。[16]不用费多少力气你就会发现，对于一些简单的数字，这个猜想完全成立，比如说，12=7+5，24=17+7，32=29+3。然而数学家耗费了无数心血，却依然无法完全证实这个猜想，与此同时，他们也找不出任何一个反例。1931年，俄罗斯数学家施尼雷尔曼（Schnirelman）朝验证哥德巴赫猜想的目标迈出了建设性的一步。他证明了任何一个偶数都能表示为不多于300,000个质数之和。30万个质数和2个质数之间的确存在巨大的鸿沟，另一位俄罗斯数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）又将证明的结果进一步推进到了“4个质数之和”。但是，维格拉多夫的“4个质数”离哥德巴赫的“2个质数”还有最后的两步，看来这两步才最难走，要最终证明或证伪这个难题，谁也说不清到底需要多少年或者多少个世纪。[17]
呃，如此说来，要得出一个能够自动推出任意大质数的公式，我们距离这个目标似乎还很遥远，确切地说，我们甚至无法确定这样的公式是否存在。
所以现在，我们或许可以转而思考另一个谦逊一点儿的问题：在某个给定的数字区间内，质数所占的百分比是多少？随着数字的增大，这个百分比是否大致保持恒定？如果不是的话，那么它是上升还是下降？为了回答这个问题，我们不妨试着数一数质数表中的数字。通过这种方式，我们发现100以下的质数共有26个，1000以下的质数有168个，1,000,000以下的有78,498个，1,000,000,000以下的有50,847,478个。[18]
根据这张表格，首先我们可以看出，随着整数越来越多，质数在所有数字中所占的比例越来越小，但并不存在所谓的最大质数。
数字越大，质数出现的频率就越低，我们能不能用一个简单的数学式来表达这样的趋势呢？答案是肯定的，描述质数平均分布的定理是整个数学领域最重要的发现之一，它可以简单地表达为：在1到大于1的任意自然数N的区间内，质数所占的百分比约等于N的自然对数的倒数。[19]N越大，这个式子得出的结果就越精确。
你可以在上面这张表格的第四列找到N的自然对数。比较一下第三列和第四列的数字，你会发现两者的确十分相近，而且N越大，两列数字的偏差就越小。
和数论领域的其他很多命题一样，质数定理最初是在实践中被发现的，而且在很长一段时间里，我们并没有找到任何可以支持它的严格的数学证据。直到19世纪末，法国数学家阿达马和比利时数学家德拉瓦莱·普森才终于成功地证明了这一定理，不过他们采用的方法过于繁难，我们在此暂且略过。
要讨论整数，费马大定理（GreatTheoremofFermat）是个绕不开的话题，它代表着与质数性质表面上全然无关的另一类数学问题。费马大定理的根源可以追溯到古埃及时期，那时候的每个好木匠都知道，如果一个三角形的边长之比是3∶4∶5，那它必然包含一个直角。事实上，古埃及人利用这样的三角形来充当木匠的三角尺，所以今天的我们称之为“埃及三角形”。[20]
公元3世纪，亚历山大的丢番图（DiophantesofAlexandria）开始进一步探索这个问题。他想知道，除了3和4以外，是否还有另外两个整数的平方和正好等于第三个整数的平方。他的确找到了性质和“3、4、5”完全相同的其他数字组合（事实上，这样的组合有无穷多个），并给出了寻找这类组合的通用规则。现在，这种三条边的长度都可表达为整数的直角三角形被称为“毕达哥拉斯三角形”，埃及三角形是人类发现的第一个毕达哥拉斯三角形。构建毕达哥拉斯三角形的过程可以简单地概括为一个数学式：[21]
x2+y2=z2
其中x，y和z都必须是整数。
1621年，皮埃尔·费马（PierreFermat）在巴黎买了一本丢番图著作《算术》的法语新译本，其中就有关于毕达哥拉斯三角形的内容。读到这里的时候，费马在页边写了一条简短的笔记，他提出，方程x2+y2=z2有无穷多组整数解，但对于xn+yn=zn这样的方程[22]，如果n大于2，那么该方程无解。
“我有一个绝妙的办法可以证明这一点，”费马继续写道，“但这一页的页边太窄了，实在写不下。”
费马死后，人们在他的藏书室里找到了丢番图的著作，费马在页边留下的这条笔记也因此变得举世皆知。三个多世纪以来，各国最优秀的数学家一直试图重现费马写下笔记时所想的证明过程，但迄今仍未成功。不过确切地说，数学界在这个问题上已经取得了长足的进展，为了证明费马大定理，他们甚至发展出了一门全新的数学分支，也就是所谓的“理想论”（theoryofideals）。欧拉证明了方程x3+y3=z3和x4+y4=z4不可能有整数解；狄利克雷（Dirichlet）又证明了x5+y5=z5没有整数解，再加上其他几位数学家的努力，目前我们已经确认，只要n小于269，这个方程都没有整数解。但目前我们仍未找到n为任意值的通用解，[23]越来越多的人开始怀疑，费马本人可能根本没有证明这一猜想，或者是他弄错了。为了证明费马大定理，甚至有人提供了10万德国马克的悬赏，于是这个数学问题变得更加炙手可热，但所有试图淘金的业余爱好者最终都无功而返。[24]
当然，费马大定理可能是错的，也许我们能找到一个反例，证明两个整数的高次幂之和等于第三个整数的同一次幂。不过事到如今，这个n必然大于269，要找到它可不容易。
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