上一节中我们讨论了数字，其中很多数字相当大。尽管这些数字界的巨无霸（例如西萨·本要求的麦粒数量）大得超乎想象，但它们依然是有限的，只要有足够的时间，你总能将它数到最后一位。
但世界上还有一些真正“无穷大”的数字，无论你花多少时间都写不完。比如说，“所有数字的数量”显然无穷大，同样的还有“一条线上所有几何点的数量”。除了“无穷大”以外，你还能用什么办法来描述这样的数字？或者说，我们能不能比较两个不同的“无穷数”，看看它们谁“更大”？
“所有数字的数量和一条线上所有点的数量，这两个数到底哪个大？”我们能这样问吗？著名数学家格奥尔格·康托尔（GeorgCantor）头一次认真审视了这些被视作异想天开的问题，他是当之无愧的“无穷数学”奠基者。
要比较“无穷数”的大小，我们首先会遇到一个问题：这些数字，我们既无法描述，也无法数清。这就像一位霍屯督人打算清点自己的财产，看看是玻璃珠更多还是铜币更多。但是，你应该记得，霍屯督人最多只能数到3。那么他是不是应该放弃比较玻璃珠和铜币的数量，因为这两个数他都数不清？不一定。如果这位土著足够聪明，他应该能想到，可以把玻璃珠子和铜币拿出来一对一地比较。他可以在一枚铜币旁边放一颗玻璃珠，然后在第二枚铜币旁放下第二颗玻璃珠，以此类推，周而复始……如果玻璃珠用光了，但铜币还有剩余，那么他就会知道，铜币比玻璃珠多；要是铜币没了，玻璃珠还没用完，那就是玻璃珠更多；如果二者正好相等，那么玻璃珠和铜币一样多。
这就是康托尔提出的比较两个“无穷数”的方法：我们可以对两组无穷数进行配对，每个集合里的一个元素分别对应另一个集合里的一个元素，如果最后它们正好一一对应，任何一个集合都没有多余的元素，那么这两个数的大小相等；但是，如果两组无穷数无法一一对应，某个集合中存在无法配对的剩余元素，那么我们可以说，这个集合的无穷数更大，或者更强。
这显然是最合理的办法。事实上，要比较无穷大的数字，我们也只有这个办法；但是，如果你真的打算采用这种办法，那你得做好大吃一惊的准备。比如说，奇数的数量和偶数的数量都是无穷大，我们先来比较一下这两个无穷数。当然，出于直觉，你肯定认为这两个数相等，它们也完全符合我们刚才描述的规律，奇数和偶数可以列成一对一的组合：
在这张表格中，每个偶数都有一个对应的奇数，反之亦然；因此，奇数的数量和偶数的数量是两个相等的无穷数。看起来真的非常简单自然！
不过，请稍等一下。下面两个数你觉得哪个更大：所有数字（包括奇数和偶数）的数量和偶数的数量？你当然会说，肯定是所有数字的数量更大，因为除了偶数以外，它还包含了奇数。不过这只是你的直觉，要找到准确答案，你得严格按照我们上面描述的方法来比较这两个无穷数。这样一来，你会惊讶地发现，你的直觉错了。事实上，所有数字的集合和只有偶数的集合也能做成一张一一对应的表格：
根据无穷数的比较规则，我们只能说，偶数的数量和所有数的数量是两个相等的无穷数。这听起来当然很矛盾，因为偶数只是所有数字的一部分，但我们必须记住，这里讨论的是无穷数，所以我们只能做好准备，直面它们的古怪特性。
事实上，在无穷数的世界里，部分可能等于整体！这方面最好的例子大概是德国数学家大卫·希尔伯特（DavidHilbert）讲的一个故事。据说希尔伯特曾在开讲座的时候这样描述无穷数的矛盾特性：[12]
“我们不妨想象一家旅馆，它的房间数量是有限的。现在所有房间都住满了，一位新来的客人想要一个房间，‘对不起，’店主回答，‘但我们已经客满了。’接下来，我们再想象一家拥有无穷多个房间的旅馆，所有房间同样住满了。这家旅馆也来了一位想住店的新客人。
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