“‘当然可以！’店主热情地喊道。于是他将原来住在N1号房的客人挪到N2号房，N2号房的客人挪到N3，N3的挪到N4，以此类推……最后新客人住进了刚刚腾出来的N1号客房。
“现在我们继续想象，一家旅馆拥有无穷多个房间，现在来了无穷多个想住店的新客人。
“‘没问题，先生们，’店主回答，‘稍等一下。’
“他让N1号房的客人挪到N2号房，N2的挪到N4，N3的挪到N6，以此类推……
“现在所有奇数号的房间都空了出来，无穷多位客人轻轻松松就安置了下来。”
呃，哪怕在战时的华盛顿，要想象希尔伯特描述的这种情况也并不容易，但这个故事抓住了问题的重点：无穷大的数字的确拥有一些不同于普通数字的古怪特性。
根据康托尔的“无穷数比较法则”，我们现在还能证明分数（例如3/7或者735/8）的数量等于整数的数量。事实上，我们可以根据如下规则将所有分数排成一行：先写下分子与分母之和等于2的分数，这样的分数只有一个：1/1；然后写下分子分母之和等于3的分数：2/1和1/2；接下来是分子分母和为4的：3/1，2/2，1/3。以此类推，最终我们将得到一个包含了所有分数的无限长的数列。现在，我们在这个数列上方写下整数数列，让这个数列中的每个项和分数数列一一对应。最后你会发现，分数的数量和整数的数量相等！
非洲土著和G.康托尔教授一样，都想比较他们数不出来的数
“呃，听起来是不错，”你也许会说，“不过简而言之，这不就是说所有无穷数都相等吗？如果真是这样的话，比较它们的大小又有什么意义？”
不，你想得不对。事实上，你可以轻而易举地找到比分数和整数的数量更大的无穷数。
我们不妨回顾一下刚才提过的一个问题：一条线上所有点的数量和所有数字的数量，这两个数到底哪个大？你会发现，这两个无穷数并不相等，一条线上的点比整数或者分数的数量多得多。要证明这一点，我们不妨在一条线（比如说一条1英寸长的线）和整数数列之间建立一一对应的关系。
每个点在线上的位置可以描述为它与线段某端之间的距离，这段距离又可以记作一个无限小数，例如0.7350624780056……或者0.38250375632……[13]因此，我们比较的对象变成了整数的数量和无限小数的数量。现在不妨思考一下，我们在这里提到的无限小数，和3/7或者8/277之类的分数有什么区别？
你肯定记得数学课上讲过，每个分数都能化作一个有限小数或者一个无限循环小数。因此，2/3=0.66666…=0.(6)，3/7=0.428571 | 428571 | 428571 | 4…=0.(428571)。前面我们已经证明了分数数量等于整数数量，因此无限循环小数的数量必然也等于整数数量。但是，一条线上的点不一定都能用无限循环小数来描述，事实上，大多数时候，点的位置对应的是一个无限不循环小数。你很容易发现，在这种情况下，两个数列不可能一一对应。
假如有人宣称他能完成这样的对应，那他应列出如下对应关系：
N
10.38602563078……
20.57350762050……
30.99356753207……
40.25763200456……
50.00005320562……
60.99035638567……
70.55522730567……
80.05277365642……
·………………………
·………………………
·………………………
·………………………
·………………………
当然，因为我们不可能真的写出无穷多个无限小数的每一位数，那么这张表的作者必然有自己的一套排列法则（就像我们之前排列分数那样），这样才能保证涵盖你能想到的任何一个小数。
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