呃，不难证明，任何排列法则都保证不了这样的事情，因为我们随时可以写出一个无限小数，它绝对不属于这张没有尽头的表。这是怎么做到的？噢，简单极了。你只需要写一个这样的小数：它在小数点后的第一位不等于N1的小数点后第一位，第二位不等于N2的小数点后第二位，以此类推。最后你得到的数字大概是这样的：
无论往下翻多少行，你绝对无法在表格中找到这个数字。事实上，要是这位作者告诉你，你写下的小数出现在表格的第137行（或者其他任何一行），你可以马上回答：“这不可能，因为表格中第137行的数字小数点后第137位和我这个数不一样。”
因此，一条线上的点和整数之间无法建立一一对应的关系，这意味着一条线上点的数量大于，或者说强于所有整数或分数的数量。
我们刚才讨论的点来自一条“1英寸长”的线，不过现在，根据 “无穷数学”，我们可以轻松证明，同样的结论适用于任意长度的线。事实上，无论线的长度是1英寸、1英尺还是1英里，它拥有的点的数量完全相等。为了证明这一点，我们只需要看看图6，这幅示意图比较了两条长度不同的线段AB和AC拥有的点的数量。为了在两条线段之间建立一一对应的关系，我们从其中一条线段上的每一个点出发，画了一组无穷多条的平行线，每条平行线与两条线段的交点分别是D和D1，E和E1，F和F1，以此类推。AB上的每一个点在AC上都有对应的一点，反之亦然。因此，根据无穷数的比较法则，两条线段拥有的点的数量完全相等。
遵循同样的原则，我们还有一个惊人的发现：一个平面上的所有点的数量等于一条线上的所有点的数量。为了证明这一点，我们不妨画一条1英寸长的线段AB和一个正方形CDEF。
线段AB上每一个点的位置都能用一个数字来描述，譬如0.75120386……我们可以取小数点后的奇数位和偶数位，分别组成两个数字，即0.7108……和0.5236……
现在用这两个数分别代表正方形内某个点的横坐标和纵坐标，于是我们得到了平面内的一个“对应点”。反之，如果平面内某个点的横坐标和纵坐标分别是0.4835……和0.9907……，那么将这两个数字融合在一起，我们同样可以得到线段AB上的对应点：0.49893057……
显然，通过这样的方法，我们在这两组点之间建立了一一对应的关系。线段上的每一个点在平面内都有一个对应点，反之亦然，双方都不会落下哪怕一个点。因此，按照康托尔的标准，平面内所有点的数量等于线上所有点的数量。
通过类似的方式，我们也很容易证明，立方体内所有点的数量等于平面或线段内所有点的数量。要完成这个任务，我们只需要把最初的那个小数分成三个部分[14]，再用这三个点作为坐标来寻找立方体内的“对应点”。进一步说，既然两条任意长度的线段拥有的点数量相等，那么任意正方形和立方体（无论大小）拥有的点数量也完全相等。
虽然几何点的数量大于整数和分数的数量，但它还不是数学家所知的最大的数。事实上，我们发现，曲线的种类（包括那些形状最不同寻常的曲线）大于几何点的数量，因此我们必须用无穷数列的第三个数来描述它。
“无穷数学”的奠基者格奥尔格·康托尔提出，我们可以用希伯来字母（aleph）来描述无穷大的数字，字母右下方的角标代表该数字在无穷数列中的位置。于是我们得到了这样一个数列（包括无穷数！）：
1，2，3，4，5，……，，，……
现在我们可以说，“一条线上有个点”，或者“曲线共有种”，就像平时我们说“世界分为7个部分”或者“一副牌有52张”一样。
哦豁，小伙伴们如果觉得倾城文选不错，记得收藏网址 或推荐给朋友哦~拜托啦 (>.<)
传送门： 从一到无穷大 从一到无穷大免费阅读