以上就是普通球体二维投影的特性。再发挥一点儿想象力，我们应该不难揣想四维超球体在三维空间内的投影会是什么样的。三维球体在二维面上的投影是两个点对点重叠的圆盘，它们只通过共同的边缘相连；那么超球体的三维投影必然是两个重叠的球体，只通过共同的表面相连。这个奇特的结构我们在上一章中已经讨论过了，当时我们举这个例子是为了说明类似封闭球面的封闭三维空间。所以现在我们只需要补充一句：四维球体的三维投影就是上一章中那个连体婴儿般的“双重苹果”，它由两个果皮完全重叠的苹果组成。
以此类推，我们还可以回答关于四维物体特性的很多问题。只是无论怎么尝试，我们可能都无法“想象”，我们这个物理空间中还有第四个独立的维度。
但只要再想想，你会发现第四维其实并不神秘。事实上，有一个词我们大部分人每天都会用到，它可以被视为，或者说实际上就是物理世界中的第四个维度，这个词就是“时间”。在我们描述周围发生的事件时，时间常常是一个和空间并列的度量。当我们谈到宇宙中发生了什么，无论是你在街上意外邂逅了一位老朋友，还是一颗遥远的恒星发生了爆炸，一般情况下，我们不光会提到事件发生的位置，还会陈述它发生的时间。通过这种方式，我们为三维空间中的事件引入了第四个维度：日期。
进一步思考这个问题，你也很容易发现，每个物理物体都有四个维度，其中三个是空间维度，还有一个是时间维度。你住的房子在长度、宽度、高度和时间这四个维度上延展，它在时间维度上的跨度始于建成之日，终于毁灭那一天——无论是烧毁、拆毁还是因年久失修而倒塌。
确切地说，时间这个维度和空间的三个维度不太一样。时间的跨度（间隔）由钟表来度量，秒针嘀嗒嘀嗒，整点叮咚报时；而测量空间距离的工具是尺子。你可以用同一把尺子测量长度、宽度和高度，但却不能把它变成钟来测量时间。除此以外，你可以在空间中向前、向右或者向上移动，然后再返回原地，但时间一路向前，从不回头，你只能被动地从过去来到现在，再去往未来。尽管时间的维度和空间的三维有这么多的不同之处，但我们依然可以将时间当成第四个维度，用它来描述这个世界上的物理事件，只是不要忘了，时间和空间的确不太一样。
选定了时间作为第四个维度以后，我们会发现，想象本章开头提及的四维图形变得简单多了。比如说，你还记得那个四维立方体的奇怪投影吧？它有16个顶点、32条边和24个面！面对这样的几何怪胎，难怪图26里的人都一脸惊讶。
但是，现在我们换个角度来看，四维立方体实际上是一个存在于特定时间段内的普通立方体。假设你在5月7日用12根线搭了一个立方体，一个月后再把它拆了，那么现在，立方体的每个顶点都可被视作时间维度上跨度为一个月的一条线。你可以在立方体的每个顶点上贴一本小小的日历，然后每天翻一页，借此表示时间的流逝。
现在我们可以轻松数出这个四维图形有几条边了。事实上，这个立方体从诞生之初起就拥有空间中的12条边，然后在时间维度上它还拥有8个顶点拉出的8条边，最后，在被拆毁的那一天，它在空间中还有12条边。[38]一共32条边。以此类推，我们也可以数出16个顶点：5月7日有8个空间顶点，6月7日也有8个空间顶点，总计16个顶点。至于这个四维立方体的面应该怎么数，这个问题就留给各位读者自己练习吧。不过请记住，四维立方体的面有一部分是普通三维空间中的面，还有一部分则是“半空间半时间”的，它们的边就是从5月7日延展到6月7日的那几条时间维度上的线。
我们在此介绍的四维立方体的所有特性当然同样适用于其他任何几何图形或物体，无论是死的还是活的。
确切地说，你可以把自己想象成一个四维物体，类似在时间维度中延展的一根长橡胶棒，它始于你的诞生之日，终于生命结束的时候。可惜的是，我们在纸上画不出这样的四维图形，所以在图29中，我们试着用二维的影子人代替三维的你，再将垂直于二维平面的时间作为第三个维度，力求帮助你理解这个概念。图中画出的只是这位影子人生命中的一小段时间，要想画出他的一生，那得换一根长得多的橡胶棒。起初这根棒子很细，因为影子人还小，漫长的几十年里，棒子不断扭动，直到影子人死亡那天才会凝固下来（因为死人不会动），然后开始崩解。
更准确地说，这根四维橡胶棒实际上分为无数根彼此独立的纤维，每根纤维内部又有许多互不相干的原子。在你的一生中，大部分纤维会始终聚合在一起形成一束，只有一小部分会中途散逸，比如说在你剪头发或者剪指甲的时候。既然原子不会毁灭，那么我们就可以认为，人死后尸体腐烂的过程其实就是所有独立纤维（可能除了构成骨骼的那些纤维以外）分道扬镳，四下弥散。
用四维时空几何学的术语来说，代表每个独立的物质粒子的生命史的线被称为“世界线”。同样地，组成复合物体的一束世界线被称为“世界带”。
我们给出了一个代表太阳、地球和彗星世界线的天文学案例。[39]和前面那个影子人的例子一样，我们取了一个二维空间（地球的公转轨道平面），使时间轴垂直于它。在这幅图中，太阳的世界线是一条平行于时间轴的直线，因为我们认为太阳的位置始终保持不变。[40]地球的公转轨道近乎圆形，所以它的世界线围绕太阳线螺旋上升，而彗星的世界线逐渐接近太阳，然后再次远去。
从四维时空几何学的角度来看，宇宙的拓扑图形和历史融合成了一幅和谐的画卷，要研究独立的原子、动物或恒星的运动，我们只需要思考纠缠成束的世界线。
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