1 维度和坐标
我们都知道空间是什么，但要是有人问你“空间”这个词的确切定义，你却会发现自己陷入了颇为尴尬的境地。我们或许应该说，空间就是我们周围的那个东西，你可以在其中前后、左右、上下移动。三个互相垂直的独立方向的存在代表着我们生活于其中的物理空间最基本的特性，所以我们说，空间是三维的。空间中的任意位置都能用这三个维度来表达。如果我们来到一座陌生的城市，询问酒店前台某家著名公司的位置，那么店员也许会说：“往南走五个街区，然后右转经过两个街区，直接上七楼。”这三个数字通常被称为坐标，在我们刚才讲的这个例子里，坐标描述了城市街道、建筑楼层和酒店大堂起点之间的关系。不过显然，要前往一个确定的目的地，无论起点如何变化，只要有一套能够正确描述新起点与目的地之间方位关系的坐标系，我们总能找到正确的方向。与此同时，我们还能通过简单的数学运算，根据新旧坐标系之间的相对位置得出原有目的地的新坐标，这个过程被称为坐标变换。这里或许应该补充一句，这三个坐标不一定是代表距离的数字，事实上，在某些情况下，角坐标比距离坐标更方便。
比如说，纽约城里的地址通常用直角坐标系来描述，横平竖直的“某某街”和“某某大道”将城市划分成了矩形的条块；而在俄罗斯的莫斯科，极坐标系更为常用，这座老城围绕克里姆林宫的中心城堡修建而成，街道呈放射线向外延伸，同时又有几条呈同心圆状的环路，所以要描述某幢房子的位置，人们自然会说，它位于“克里姆林宫城墙北偏西北20个街区”。
关于直角坐标系和极坐标系的另一个经典例子是华盛顿特区的海军部大楼和战争部五角大楼，对于二战期间从事战争相关工作的人来说，这两幢建筑想必都相当熟悉。
我们在图12中给出了几个例子，你可以从中看到如何用不同的方法来表达空间中某个点的三个坐标，其中有的坐标代表距离，有的坐标代表角度。但无论采用哪种坐标系，我们都需要三个数字才能准确描述方位，因为这里讨论的是三维空间。
对于习惯了三维空间的我们来说，要想象大于三个维度的超空间（不过我们很快就将看到，这样的空间的确存在）无疑是件难事；但反过来说，想象小于三个维度的低维空间就简单多了。平面，球面，或者其他任意什么面，这都是二维空间，因为我们只需要两个数就能表达这个面上任意一点的位置。以此类推，线（无论直线还是曲线）是一维空间，在这样的空间中描述位置只需要一个数。我们还可以说，点是零维空间，因为一个点内的任何位置都没有区别。但谁也不会对点有多大的兴趣吧！
作为三维生物，我们很容易理解线和面的几何性质，因为你可以“从外面”观察；不过要理解我们身处其中的三维空间，那就难得多了。所以你可以毫无障碍地理解曲线和曲面，但要说三维空间也可以是弯曲的，你大概就会一脸茫然。
不过只要稍加练习，深入理解“弯曲”这个词的确切意义，你会发现，“弯曲的三维空间”这个概念其实相当简单；到了下一章的末尾，（我们希望！）你甚至可以轻松自如地讨论另一个乍看之下十分可怕的概念：弯曲的四维空间。
不过在此之前，我们不妨做做思维体操，学习一些关于三维空间、二维面和一维线的特性。
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