我得向可怜的读者道个歉，前面二十页介绍四维坐标系的内容肯定读得大家苦不堪言，现在我们不妨去弯曲的空间里散散步。大家都知道曲线和曲面，但“弯曲的空间”又是什么意思？想象弯曲空间之所以这么困难，倒不是因为这个概念有多么出奇，而是因为一个简单的事实：我们可以从外面观察曲线和曲面，但只能从里面观察三维空间的弯曲，因为我们自己身处其中。为了理解三维的人类如何设想自己生活于其中的空间的弯曲，首先我们还是想想生活在二维面上的影子生物。我们可以看到，平坦和弯曲（球状）的“面世界”里的影子科学家正在研究他们所在的二维空间的几何学。当然，三角形是可供研究的最简单的几何图形，它由三条直线连接三个几何点构成。你们大概还记得高中几何课上讲过，平面上任何一个三角形的三个内角之和总是等于180°。不过我们也很容易看到，这条定理并不适用于球面上的三角形。事实上，球面上由两条从极点出发的地理经线和一条地理纬线组成的三角形，它的两个底角都是直角，而顶角可能是0°到360°之间的任何数字。比如那两位影子科学家研究的三角形，它的三个内角之和等于210°。所以我们可以看到，通过测量自己所在的二维世界里的几何图形，这些影子科学家不必从外面观察也能发现他们的世界是弯曲的。
将这种观察世界的方法移植到多一个维度的世界里，我们自然可以得出结论：生活在三维空间中的人类科学家不必跳出这个世界进入第四个维度，也能通过测量空间中连接三个点的直线之间的角度，确认我们的空间是否弯曲。如果三个角之和等于180°，那么空间是平坦的，否则它必然弯曲。
不过，在深入讨论这个问题之前，我们必须进一步明确直线的定义。看到两个三角形，读者大概会说，平面上那个三角形的边才是直线，球面上那个三角形的边明明是曲线，它其实是从围绕球面的大圆[50]上截下来的一段弧线。
这种说法基于我们自己的几何学常识，但却违背了影子科学家基于他们所在的二维空间发展出来的几何学。我们需要赋予直线一个更普遍的数学定义，使之不仅适用于欧氏几何空间，也同样可以推广到二维面和其他性质更复杂的空间中。为了完成这个任务，我们可以将“直线”定义为代表两点之间最短距离的线，这条线必须契合它所在的面或者空间。当然，按照上述定义，平面几何中的直线就是我们通常说的直线，而在更复杂的曲面上，两点间符合定义的“直线”可能有很多条，它们在自己所在的面上扮演的角色和欧氏几何中的“直线”完全相同。为了避免误解，我们常常将曲面上代表最短距离的线称为“测地线”（geodesicallines）或“大地线”（geodesics），因为这个概念最初是由测地学引入的，这是一门测量地球表面的科学。事实上，说到纽约和旧金山之间的直线距离，我们指的是沿着地球表面“两点间最直接的路径”，而不是臆想一台巨大的钻机直接从地里打洞得到的直线。
根据以上描述，“广义直线”或“测地线”的定义是两点间的最短距离；要做出这样的线条，有一个简单的物理方法：你可以在这两点之间拉一条绳子。如果是在平面上，你就将得到一条普通的直线；要是换到球面上，你会发现绳子沿着大圆的弧线绷直了，这就是球面上的测地线。
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