这一章结束之前，我们还得简单讨论一下爱因斯坦时空几何学中另一个重要的问题：宇宙到底是有限的还是无限的。
到目前为止，我们讨论的一直是大质量物体附近空间的局部弯曲，它就像散布在宇宙这张“大脸”上的无数青春痘。可是除了这些局部的凹凸以外，宇宙这张脸本身到底是平坦的还是弯曲的？如果是弯曲的，它的形状又该是什么样？在图42中，我们用二维示意图的形式画出了一个带有“青春痘”的平坦空间，和空间可能的两种弯曲形式。所谓的“正曲率”空间对应的是球面或其他任意封闭几何面，无论你朝哪边走，这样的空间总是朝着“同一个方向”弯曲。反过来说，“负曲率”空间在一个方向向上弯曲，在另一个方向则向下弯曲，所以它看起来就像一副西式马鞍。通过一个小实验，你可以清晰地看到这两种弯曲空间的区别：从足球和马鞍表面各取一块皮革，然后试着在桌面上将它们展平。你会发现，这两块皮革都必须进行拉伸或者压皱才能“展平”，不过二者的区别在于，足球上切下来的那一块皮革只能拉伸，而马鞍的那块只能压皱。换句话说，足球那块皮中心点周围的材料太少，不足以让它展平；而马鞍那块中心点周围的材料太多，必须叠起来一部分才能展平。
我们可以再换个说法。请数一数两种曲面上中心点周围1英寸、2英寸和3英寸范围内（沿着曲面）分别有多少青春痘。在没有弯曲的平面上，青春痘的数量与距离的平方成正比，比如说，1个、4个、9个，如此等等；但在球面上，青春痘数量增长的速度比这慢得多；到了“马鞍”面上，这个数的增长速度却又快得多了。因此，哪怕居住在二维面内的影子科学家无法跳出自己的世界从外面观察它的形状，但是只需要数一数落在不同半径内的青春痘的数量，他们就能推测空间的曲率。还有一点，正曲率空间和负曲率空间内三角形的内角和也能反映二者的区别。正如我们在上一节中看到的，球面上的三角形内角和总是大于180°，但要是你在马鞍面上画一个三角形，你会发现它的内角和总是小于180°。
利用这张表格，我们可以试着回答空间是否有限的问题——这个问题我们将在介绍宇宙尺寸的第十章中再详细讨论。
[43]这个故事来自《圣经》，约书亚带领祭司和人民包围耶利哥城，当他吹起号角，人们应声呼喊，坚固的城墙就倒塌了。（译注）
[44]当时的人们已经发现，光波振动的方向垂直于光的传播方向。对普通物质而言，只有固体内部才会发生这样的横向振动，而在**和气体介质中，振动的粒子只能顺着波传播的方向移动。
[45]亦见第六章第2节。
[46]事实上，如果将两个码头之间的距离记作l，顺流船速等于v+V，逆流船速等于vV，我们可以算出往返航程花费的总时间：
[47]这个名字是为了纪念首次提出这个概念的物理学家，他认为这种收缩是运动造成的纯机械效应。
[48]当然，这样的画面只存在于理论上。而在现实中，如果两艘火箭飞船真的以我们现在假设的这么快的速度擦肩而过，船上的乘客根本看不到另一艘飞船——就像步枪子弹的运动速度还不到这个值的零头，你也看不见它在空中飞行。
[49]如果你乐意的话，也可以换个说法：由于四维空间中的毕达哥拉斯方程相对于时间产生了扭曲。
[50]大圆是指通过球心的平面在球面上截出的圆。经线和纬线都是这样的大圆。
[51]光传播的路线即为测地线。
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