图灵在诸多领域都有非凡成就，最非凡的是在偶然的机会下，他发明了计算机。20世纪30年代中期，图灵还是剑桥大学数学系的一名学生，他给自己定下一个超前的挑战，那就是解决彼时最重要的终极数学问题之一：判定问题。这个令人印象深刻——坦率地说，是可怕——的问题，由数学家大卫·希尔伯特(DavidHilbert)于1928年提出。判定问题是指，是否所有的数学描述都是“可判定的”，即是否存在一种方法，可以确认某个给定的数学描述是真是假。当然，希尔伯特关心的领域并非“有没有上帝”或者“生命的意义是什么”之类，而是数学领域中的判定问题。判定问题是一种有着明确“是”或“否”的答案的数学问题。以下是判定问题的示例：
·2 + 2是否等于4？
·4×4是否等于16？
·7919是否是一个质数？
很凑巧，这几个问题的答案都是“是”。前两个问题的答案是显而易见的，但是，除非你是个痴迷于质数的人，否则要回答第三个问题得稍微费点儿劲了。所以，我们来看看最后一个问题。
你应该记得，质数的定义是一个只能被自己和1整除的整数。现在回到这个问题，我相信从原则上讲，你能够寻找到一个验证它的方法。有一个很容易想到的笨办法，当然，对7919这么大的数字来说有些烦琐：依次用每一个整数去除它，看看它能不能被某个数除尽。重复这个过程以后，你会发现，除了1和7919本身，没有其他可以除尽它的数，这就意味着7919确实是一个质数[3]。
重点在于，上述问题可以用一个精准的方式来寻找答案。这种方式不需要任何灵活的应用——只是一些需要死记硬背的方法。要寻找答案，我们只需要严格按照方法所示的步骤执行就可以。
既然有这样的方法保证能够验证这个问题的是与否(只要有足够的时间)，我们就可以说，“某个数是否是一个质数”是可判定问题。在此我强调一下，这就意味着，每当我们遇见“数n是否是一个质数”这样的问题时，只要给予足够的时间，就能找到答案：遵循相关步骤执行，最终就能得到明确的答案。
现在，判定问题提出：是否所有的数学判定问题都是可判定的？或者说，是否存在某种数学问题，无论你投入多少时间，都无法寻找到相应的可供严格遵循来解决问题的方法？
这是一个基础法则类问题，本质是数学问题是否都可以简化为寻找对应算法就可以解决的问题。回答这个基础问题是图灵在1935年给自己立下的艰巨挑战，而他以令人难以置信的惊人速度解答出来了。
一想到深奥的数学问题，我们很容易就会认为解决它们的方法是冗长而复杂的，涉及大篇幅的方程式和证明过程。有时候，事实的确是这样，例如英国数学家安德鲁·威尔斯(AndrewWiles)在20世纪90年代论证著名的费马大定理，数学界花费了好几年时间才消化了他那几百页的手稿，并确信他的论证是正确的。按照这样的标准，图灵解决判定问题的方案简直是颠覆性的。
与大家想象中的不同，图灵的证明短小精悍，而且很容易读懂(在确立了基本框架以后，真正的证明实际上只有几行)。重点在于，图灵意识到，他需要一个精准定义解决问题方法的方案，为此，他发明了一种可以解决数学问题的机器，如今，为了纪念他，我们称之为图灵机。图灵机是一种对方法的具体描述，比如上文提到的检查质数的步骤。图灵机的作用是严格遵循既定的步骤执行运算。在此，我要强调的是，尽管图灵将它称为“机器”，但在那时它只是个抽象的数学概念。通过发明一台机器来解决一个艰深的数学问题，这种想法相当颠覆传统，当年的数学家们肯定都被搞迷糊了。
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