关于概率的游戏激发了许多对概率运作的早期关注。在这些游戏中，无论是掷色子、发牌，还是掷硬币，一些“试验”会在本质上相同的情况下被重复进行。之前提出过一个自然的问题：一个结果被观察到的概率和客观概率有什么关系？
雅各布·伯努利(JacobBernoulli)在其遗作《猜度术》(TheArtofConjecturing)中，用他的例子巧妙地进行说明，给出了一个答案。假设罐子中60%的球是白色的，其余的是黑色的，随机抽取一个球。伯努利证明，只要试验抽取至少25550回，每一次试验中抽到白球的比例落在58% ~ 62%的范围外部，就会有至少1000次试验中抽到白球的比例落在这个范围内部。不规范地说就是：在多次抽取的条件下，我们观察到白球的频率会压倒性地倾向于接近它的客观概率。
类似的分析过程适用于任意能在相同条件下不限次数地重复的试验，一个试验的结果不会对其他试验结果产生影响。每一次试验中，某些特定的结果代表着成功，它们的客观概率是一个固定的值p。这个概念现在被称为伯努利试验(Bernoullitrials)。在p这个值附近取任意区间，你愿意它有多小就有多小(±2%或±0.1%，都无所谓)。然后给出你想要让成功的频率落在这个区间内部比落在其外部高多少(100倍还是100万倍，怎样都行)。伯努利的方法证明了只要试验重复足够多次，任意这样的要求都会被满足。观察到的频率会像你期望的那样尽可能地接近于客观概率，只要给出充足的数据。这个断言被称为大数定律(theLawofLargeNumbers)。
在1975年，一个主要致力于促进概率和数理统计发展的国际学会被命名为“伯努利学会”，以向这个家族致敬。
亚伯拉罕·棣莫弗
亚伯拉罕·棣莫弗(AbrahamdeMoivre)以胡格诺派[2]难民的身份在英国定居，依靠国际象棋和他的概率知识谋生。艾萨克·牛顿(IsaacNewton)那时已经50多岁而且事务非常繁忙，为了岔开有关数学的咨询，他说：“去找棣莫弗吧，他比我对这些事情了解得更清楚。”棣莫弗的《机会的学说》(DoctrineofChances)在1718年以英语出版，1738年的第二版包含了伯努利工作中的主要进展。了解他的成就要思考一个具体的问题：如果一个公正的色子被投掷1000次，我们能合理地预期数字6的产生频率与平均频率之间有多大偏差吗？
棣莫弗提出了一个对这类问题具有广泛应用的公式。他高超的洞察力表现在，他意识到数字6的实际数量与期待的平均数量之间的偏差，可以用投掷次数的算术平方根来进行最适当的描述。
如何夸大这个发现的重要程度都不为过。当你听说一个民意测验(opinionpoll)中一个政党的支持率是40%，它经常会附加一个暗示，这只是一个估计，真实的支持率“非常可能”在一个范围中，比如38% ~ 42%。这样的区间宽度告诉你最初数字40%的精确度，而如果你想要更高的精确度，就需要更大的样本：这个平方项意味着要将精确度变为2倍，样本需要扩大4倍!我们有一个“报复式”的收益递减法则——要达到原来的2倍效果，我们必须投入原来的4倍精力。
棣莫弗的方法可以用考察一个公正的硬币投掷20次时有多少次正面朝上来说明。基于所有的例如正正正反正……正反正反这样的，长度为20的序列都是等可能出现的，我们可以绘制出图1。其中垂直条的高度表示大约100万种序列中有多少个恰好包含0、1、2、……19、20个正面。这些数字各自的客观概率就正比于这些高度。棣莫弗证明了经过这些竖条顶点的最佳拟合的光滑连续曲线非常接近于一个特别的形状，现在通常称之为正态分布(normaldistribution)。
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