朱世杰生活于南宋后期到元初，他一生云游四海，以数学研究和数学教学为其职业。莫若在《四元玉鉴》的序中说：“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣。四方之来学者日众。”祖颐在序中也提到：“周游四方，复游广陵（今扬州），踵门而学者云集。”他的数学著作有《四元玉鉴》，共三卷，二十四门，二百八十八个问题，内容是讲述多元高次方程组解法和高阶等差级数等方面的问题。对于他及他的数学成就，西方的科学史家也给予高度评价，称他是“他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”。而《四元玉鉴》是“中国数学著作中的最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。”[5]他的另一数学著作为《算学启蒙》，共三卷，二十门，二百五十九个问题，内容包括除法运算、开方、天元术等，是一部较好的启蒙算书。
宋代数学除这几大家外，其他的数学著作不下二十多种，足见宋代数学之发达。究其发达之因，一则是科学发展的必然结果，二则是宋代对算学重视的结果。
（二）天元术和四元术
天元术的成熟和发展是这一时期数学的突出成就。一般讲用求解方程的办法来解决实际问题，需要两个步骤，一是根据问题设未知数，再按题所给条件列出一个含有未知数的方程，天元术的出现就是为解决列方程问题的一个突出成就。宋人有《天元局法》一书，不过已佚，像当时南宋的数学家秦九韶、金元之际的李冶都精于其法。天元术的出现，解决了一元高次方程式列方程的问题。不过，很快到宋元之交的朱世杰把天元术又向前推进了一步，出现了四元术——多元高次方程组的解法。朱世杰在《四元玉鉴》中按天、地、人、物，立成四元。天元术是将各项系数纵列成行，而四元术既有纵列，亦有横列，摆成一个方阵，用来表示一个可以包括四个未知数的方程，并形成了一套多元多项式的运算方法。
（三）刘益、贾宪和沈括的数学求解术
在宋代数学史上，刘益首先打破了对方程系数的限制，并推出了相应的算法——正负开方术。刘益著有《议古根源》一书。此书“引用带纵开方正负损益之法，前古之所未闻也”，由此可见此书在方程论方面有突出贡献，虽此书已失传，但部分内容为南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》所采纳。
开方作法本源图
刘益之后，贾宪发明了增乘开方法。这种方法虽用增乘方法处理的是最简单的高次方程，但把刘益的正负开方术推广为一般高次方程解法的重要一步。况且，贾宪三角形的给出进一步从理论上证明了增乘开方法——随乘随加作法的正确。贾宪著有《算法数古集》二卷、《黄帝九章算法细草》九卷，可惜二书失传。贾宪的三角形是11世纪中国数学的杰出成果之一，它是方程论的重要内容，为后来隙积和无穷级数的若干重要成果的导出奠定了基础。
沈括可以说是宋代最伟大的科学家之一，其《梦溪笔谈》一书中有记载数学方面隙积术、会圆术的成果。此外，他还运用组合数学概念归纳出棋局总数，记载了一些运筹学方面的东西。何谓隙积术？沈括说：“隙积者，谓积之有隙者。如累棋、层坛及酒家积罂之类，虽似复斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。”[6]隙积术在数学史上的意义，不在于他给出累棋、层坛的体积，而在于给出了积罂的求和公式。会圆术是给出了弓形的弦、矢和弧长之间的近似关系，“置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股，各自乘，以股除弦，余者开方除为勾。倍之为割田之直径。以所割之数自乘退一位倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧。”[7]沈括是中国数学史上由弦、矢给出弧长公式的第一人。《畴人传》中说：“隙积会圆二术，补《九章》所未及。授时术草以三乘方取矢度即写会圆术也。”
（四）大衍求一术
南宋数学家秦九韶的数学成就在于他的鸿篇巨制《数书九章》一书，其主要内容有“大衍总数术”——一次同余式组解法和“正负开方术”——高次方程的数值解法，这代表了中国乃至世界中世纪数学的最高成就。
“大衍求一术”是中国古代求解联立一次同余式方法的发展，秦九韶称为“求一术”。因将其与《周易》大衍之数相附会，遂称为“大衍求一术”，是从理论上对古代一次同余式组问题解法作出了辉煌的总结。在中国古代数学史上有一个著名的孙子问题，即《孙子算经》中提出的：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”它的解法用到求三个一次同余式的共同解。但在秦九韶以前，尚无关于这一算法的记载，秦九韶第一次对这一算法进行介绍并推广到解决各种数学问题中。他所举的例题就不是孙子问题中的3，5，7之类的简单数据，数据可以是整数，也可以是分数和小数。秦九韶系统地指出了求解一次同余组的一般步骤，既准确又严密。
宋代的数学成就以及延续到元代，是中国古代数学史上的光辉时代，后人在研究这段历史后，无不发出由衷的感慨：
宋元数学，在中国古代以筹算为主要计算工具的传统数学发展过程中，是一个登峰造极的新阶段，在许多方面都取得了极其辉煌的成就。这些成就远远地超过了同时代的欧洲，其中高次方程的数值解法要比西方早八百年，多元高次方程组解法和一次同余式的解法要早五百余年，高次有限差分法要早四百余年。宋元数学，不仅是中国数学史，同时也是世界中世纪数学史上最光辉的一页。[8]
从数学这一科学领域，我们可以看出宋代文化发达的痕迹。宋人虽讲“性理之学”，尤其在南宋理学被尊为官学，此风波及元朝，但自然科学领域的成就丝毫也不逊色，这也反映出了宋代文化开拓创新恢宏的时代特征。但是元以后，尤其是进入明清，人们对数学的热情开始衰落，从此以后，中国古代数学发展进入了低谷。
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