有了前面的经历后，学生可以自己动手考察非等腰直角三角形三边之间的关系。也就是说，由非等腰直角三角形的三边分别向外作三个正方形，判断大正方形的面积是否等于两个小正方形的面积之和。很快学生便发现了困难，因为他们无法确定每个正方形的面积大小。我提示学生先考察一些特殊的非等腰直角三角形，如两直角边分别为单位长的整数倍的非等腰直角三角形。并且，为了便于计算每个正方形的面积，可将其放入一个正方形网格中，其中每个小正方形的边长为一个单位，然后通过数格子的方法确定每个正方形的面积。
我向学生展示一块课前准备好的纸板，上面画好了正方形网格。然后，我在上面标出一个直角三角形，两直角边分别为2和3（单位长），并由三边分别向外作正方形，分别记作正方形A，B和C（如图4所示）。请同学们考察正方形A，B和C的面积之间的关系。
事实证明，学生通过数格子的方法很容易得到正方形A和B的面积，分别为9和4平方单位，但部分学生在确定正方形C的面积时有困难。这时我引导他们观察图5，学生很快就发现了正方形C的面积可以通过大正方形的面积减去Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ四个相同的直角三角形的面积计算出来：每个直角三角形的面积为2×3÷2=3（平方单位），正方形C的面积为25-4×3=13（平方单位）。学生由此得到正方形A和B的面积之和为等于正方形C的面积，从而发现这个直角三角形两直角边的平方和也是等于斜边的平方，得到了与等腰直角三角形类似的结论。
需要指出的是，图5出现在这里的作用是双方面的，除了确定正方形C的面积之外，还有一个重要的作用就是可以用来证明勾股定理。教学时，我让学生欣赏图5的美，并认真观察图形的结构特点，为学生在后面通过拼图的方法获得勾股定理的证明作铺垫。
图4
图5
为了加深学生对直角三角形三边的规律的认识，我让同学们再试着检验其他的非等腰直角三角形，然后报告他们的发现。有了前面的经验，学生便很快完成了检验工作，并陆续报告说他们所检验的直角三角形均满足两直角边的平方和等于斜边的平方。时机成熟了，于是我进一步问学生：
问题6：通过上面的活动，你们猜想一下直角三角形的三边会有怎样的关系呢？你们能用数学的语言叙述这个关系吗？
在前面活动的基础上，同学们能迅速地猜想一个直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。用数学的语言叙述一个命题对学生来说是困难的，我逐步引导学生叙述如下：
一个直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么c2=a2+b2。
我告诉学生这个猜想是正确的，后人称之为勾股定理。相传2500年以前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，从朋友家用砖铺成的地面中发现了直角三角形三边的这种数量关系。所以，西方把勾股定理也称作毕达哥拉斯定理。
在本次活动中，我从学生熟悉的情景出发，提出一系列问题让学生进行探究，从特殊到一般，从具体到抽象，逐步引导学生观察发现勾股定理，体会探究数学问题的一般方法，训练探究问题的能力。课堂上适当地介绍与勾股定理有关的一些传说故事，既可以活跃课堂气氛又可以提高学生的学习兴趣。
二 奇妙的等式——是巧合吗？
在前面的活动中，我们发现了许多直角三角形的三边长满足如下奇妙的等式：c2=a2+b2，其中a，b为两直角边，c为斜边。这是一个巧合吗？是否对所有的直角三角形这个等式都成立呢？我提出问题后，许多同学立即陷入了沉思，部分同学尝试着对任意直角三角形重复前面的数学活动，在演算纸上写写画画，希望找到解决问题的方法。
我拿出一个课前准备好的直角三角形纸板（如图6所示），上面分别用a，b标记了两直角边，用c标记了斜边。然后，让学生仔细观察图5中的图案，并提出问题：
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