因为根据本卷第一章，立方体是初级形体的第一个，八面体是次级形体的第一个。而从几何上考虑，立方体在外面，八面体在里面，即后者可以内接于前者，所以在宇宙中，土星和木星是外行星的起始，或者说是最外层的行星；而水星和金星则是内行星的起始，或者说是最内层的行星；八面体则被置于它们的路径之间：参见第三章。因此，在这些和谐比例中，必定有一个初级的，并且与八面体同源的和谐比例属于金星和水星。而且，依照自然次序紧随1 : 2和1 : 3之后的和谐比例是1 : 4，它与立方体的和谐比例1 : 2是同源的，因为它也是从同一组图形即四边形中产生的，而且与1 : 2是可公度的，因为它等于1 : 2的平方；而八面体也与立方体同族，且与之可公度。而且，1 : 4由于一个特别的原因而与八面体同源，即4这个数在这个比例中，而一个正方形隐藏在八面体当中，正方形的内接圆与外接圆之比是1 : 。
因此，和谐比例1 : 4是这个比例的平方的连续幂，即1 : 的四次方（参见第二章）。于是，1 : 4应当属于金星和水星。由于在立方体中，1 : 2是两颗最外行星的较小的和谐比例，因为这里是最外层的位置；所以在八面体中，1 : 4将是两颗最内行星的较大的和谐比例，因为这里是最内层的位置。但1 : 4在这里之所以被赋予较大的和谐比例而不是较小和谐比例，还有以下的原因。[4]因为八面体的两球之比是1 : ，如果假定八面体在行星中的镶嵌是完美的（尽管它实际上不是完美的，而是略微穿过了水星天球——这对我们是有利的），那么，收敛运动之比必定小于1 : 的次方；但是1 : 3就是1 : 的平方，于是就比真正的比例大，而比1 : 3还要大的1 : 4也要比真正的比例大，所以即使是1 : 4的平方根也不可能是收敛运动之比。[5]因此，1 : 4不可能是较小的八面体比例，而应是较大的。
此外，1 : 4与八面体的正方形同源，正方形的内接圆与外接圆之比是1 : ，正如1 : 3与立方体同源，立方体的外接球和内切球之间的比例为1 : 一样。正像1 : 3是1 : 的幂次，即它的平方一样，这里1 : 4也是1 : 的幂次，即它的四次方。因此，如果1 : 3是立方体的较大和谐比例（根据命题7），那么1 : 4就应当成为八面体的较大和谐比例。
13．命题。木星与火星的极运动应当具有如下和谐比例：一个是较大的和谐比例1 : 8，即三个八度，另一个是较小的和谐比例5 : 24，即两个八度加一个小三度。
因为立方体已经得到了1 : 2和1 : 3，而位于木星和火星之间的四面体的两球之比1 : 3等于立方体两球之比1 :的平方。因此，数值等于立方体比例的平方的运动之比应当属于四面体。但1 : 2和1 : 3的平方为1 : 4和1 : 9，而1 : 9不是和谐比例，1 : 4已经被用在了八面体上。因此，根据公理1，这就必须要用到与这些比例临近的和谐比例。在这些相邻比例当中，首先遇到的较小比例是1 : 8，较大比例是1 : 10。到底应该选择这两个比例中的哪个，则要根据它们与四面体的亲缘关系决定。虽然1 : 10属于五边形组，但这与五边形没有任何共同之处。但四面体由于多方面的原因而与1 : 8有更大的亲缘关系（参见第二章）。
此外，下列理由也倾向于1 : 8：正如1 : 3是立方体的较大和谐比例，1 : 4是八面体的较大和谐比例一样（因为它们是这两个立体形的两球之比的幂次），1 : 8也应是四面体的较大和谐比例，因为正如第一章中所说的，四面体的体积是内接于它的八面体的二倍，所以八面体比例中的8是四面体比例中的4的二倍。
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