一切纯粹的数学和逻辑一样都是先验的。经验主义哲学家极力否认这一点，他们坚持认为，经验是我们的算术知识的来源，就像经验是我们的地理知识的来源一样。他们认为，由于反复看到两件事物加上另外两件事物，并且发现它们合起来总是四件事物，因而可以由归纳法得出这样的结论：两件事物加上另外两件事物总是构成四件事物。然而，如果这是我们认识“2+2=4”的来源，那么我们在说服自己相信它的真实性时，就应该采取不同于我们实际采取的方法的做法。事实上，需要一定数量的实例才能使我们抽象地想到二，而不是想到两枚硬币、两本书、两个人或任何其他特定种类的两个东西。但是，一旦我们能够使自己的思想从不相干的特殊性中抽离，我们就能够看到“2+2=4”这一普遍原则，看到任何一次实例都是典型的，而对其他实例的考察也就变得没有必要了。[1]
同种情形也可见于几何学。如果我们想证明所有的三角形的某种性质，我们画出某个三角形，然后进行推导；当然我们要避免使用任何不属于它和其他所有三角形所共有的性质，如此，我们从一个特定例子可以得到一个普遍结论。事实上，我们并不觉得我们对“2+2=4”的确信会随着新例子的增加而增加，因为一旦我们看到了这个命题为真，我们的确定性就会大得不能再大了。此外，我们对“2+2=4”这个命题所感到的必然性，即使是最可靠的经验概括也不会有这样的必然性。这样的概括始终只能停留在事实层面：尽管在现实世界里它碰巧为真，可我们觉得它也许在另一个世界里为假。反之，我们觉得在任何可能的世界里，二加二都等于四。它不仅仅是一个纯粹的事实，而是一种必然，一切实际的和可能的事物都必须遵从这种必然。
如果考虑一个真正的经验概括，例如“人皆有一死”，这个问题就会很清楚了。显然，我们都相信“人皆有一死”这个命题：首先，因为没有已知的例子显示人能活过某一年龄；其次，人的身体这样的有机组织迟早会衰竭，这一点似乎有生理学的依据。如果忽略第二个理由，只考虑一个得到清楚理解的人的死亡事例，我们显然是不会满足于这个结论的。但是在“2+2=4”这种情形中就不然了，只要仔细地考虑过，仅此一例就足以使我们相信在其他任何事例中也必然会发生同样的情况。我们反思后不得不承认，对于所有人是否都会死这一问题也许还存在一些疑问，尽管是微不足道的疑问。我们不妨设想：有两个不同的世界，其中一个世界里的人是不死的，而另一个世界里的人是“2+2=5”；我们就会明白这一点。当斯威夫特[2]邀请我们考虑长生不死的斯特鲁布鲁格(Struldbrugs)族人时，我们能够默许地加以想象。但是，“2+2=5”的世界，在我们看来似乎完全是另一层次的事了。我们觉得，如果真有这样一个世界的话，它将颠覆我们的整个知识结构，使我们陷入彻底的怀疑之中。
事实上，在如“2+2=4”这种简单的数学判断及许多逻辑判断中，我们不需要从实例中推论，就可以知道普遍命题的含义，尽管通常需要凭借一些实例才能使我们明白其含义。为此，从普遍到普遍或从普遍到特殊的演绎过程，以及从特殊到特殊或从特殊到普遍的归纳过程，都具有它的实际效用。演绎法是否能带来新知识呢？这是哲学家之间争议已久的问题。我们现在可以看到，至少就某些情形而言，演绎法确实给人们提供了新知识。如果我们已经知道二加二总是等于四，又知道布朗和琼斯是两个人，罗宾逊和史密斯也是两个人，我们可以演绎出，布朗、琼斯、罗宾逊和史密斯是四个人。这是一种未包含在我们的前提里的新知识，因为“2+2=4”这样的普遍命题，不会告诉我们有布朗、琼斯、罗宾逊和史密斯这些人，而我们特定的前提也没有说他们一共是四个人，而演绎出来的特殊命题却把两件事都告诉我们了。
但是，如果我们以逻辑学书籍中经常提到的那个推演例子，即“人皆有一死；苏格拉底是个人，因此他是会死的”，这种知识是否新，就很不确定了。就这一情形而言，我们毫不怀疑地知道某些人?——?A、B、C，他们是会死的，因为事实上他们已经死了。如果苏格拉底是这些人中的一个，从“人皆有一死”而拐弯抹角地得出苏格拉底大概(或然)也会死的结论，那么这种做法是愚蠢的。如果苏格拉底不是我们归纳所依据的人之一，那么，我们从A、B、C直接论证到苏格拉底，会比迂回地通过“人皆有一死”这个命题来论证要好得多。因为根据我们的材料，“苏格拉底会死”的概率(或然性)比“人皆有一死”的概率要大。(这是显而易见的，因为如果人皆有一死，那么苏格拉底也是会死的；但如果苏格拉底是会死的，并不意味着所有人都是会死的。)因此，如果我们只用纯粹归纳性的方法来论证，而不是先通过“人皆有一死”然后再用演绎法来论证，我们就会更能确定地得出“苏格拉底会死”这一结论。
这说明了公认为先验的普遍命题(如“2+2=4”)和经验概括(如“人皆有一死”)之间的区别。就前者而言，演绎法是正确的论证方式，而就后者而言，归纳法在理论上总是更为可取，并且它保证了我们对结论为真更具信心，因为所有的经验概括都不如经验的实例更为确切可信。
我们已看到，有些命题是所谓先验的，其中包括一些逻辑学和纯数学的命题，以及伦理学的一些基本命题。接下来我们必须思考的问题是：如何会有上述这样的知识呢？更具体地说，如果我们没有考察所有的实例，而且实际上也永远无法考察所有的实例，因为它们的数目是无限的，在这种情况下，又如何能有普遍命题的知识呢？这些问题是由德国哲学家康德(1724—1804)首先提出的，它们极为困难，在历史上又极为重要。
[1] 参看A.N.怀德海《数学导论》(家庭大学丛书)。——原注
[2] 斯威夫特(1667—1745)，其作品《格列佛游记》充满了虚构与想象。
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