对照图3.2，我们可以用一块只有一根指针的钟面来表示相位的变化[57]，这样就能用一周360度来形象地表示各种情形，例如12点、3点、9点方向，以及其间的任意位置[58]。在月球的例子中，你可以想象一下，用指针指向12点的方向表示新月，1点30分的方向表示眉月[59]，3点表示上弦月，4点30分表示盈凸月，6点表示满月，以此类推。在这里，我们是用抽象的数来描述具体的东西，也就是用钟面上的钟点来描述月相。在这种描述中，如果画一个指向12点的钟，我们立刻就可以知道它表示新月。尽管前面没有举这个具体的例子，但如果给出一个指向5点的钟，你也会知道月相正在接近满月。用抽象的图像或符号来表示真实的东西，是物理学的基础，这也是物理学者使用数学的根本目的。当能用简单的规则操控抽象的绘景，从而对现实世界做出坚实的预言时，这种方法的力量就体现出来了。一会儿就能看到，钟面就能让我们做出这种预言，因为用它就可以跟踪波峰和波谷的相对位置。反过来这也能让我们计算出不同的波在相遇时是会互相削弱还是增强。
图3.3描绘了两列水波在某时刻的状态。波上每一点都用一块钟来描述。我们用12点表示波峰，6点表示波谷。在波峰和波谷之间的状态，就跟前面的月相一样，也可以用这两个时刻之间的钟点来表示。相邻的波峰或者相邻的波谷的间距是一个重要的量，叫作波的波长。
图3.3中的两列波彼此异相，意味着上面一列波的波峰和下面一列波的波谷对齐，反之亦然。如此，当我们把两列波叠加在一起，它们会互相削弱；如果它们的振幅也相同的话，就能完全抵消。这在图的底部作出了说明，叠加的“波”是一条水平线。用钟的语言来描述的话，就是上面一列波以12点表示的波峰，全都和下一列波以6点表示的波谷对齐了。其实，在任何位置上，上面一列波的钟面指针都与下面一列波的指针完全相反。
图3.3：两列被安排为可以完全抵消的波。上面一列波和下面一列异相，或者说波峰和波谷对齐，并且振幅相同。当两列波相加时，它们完全抵消，结果是没有波。如图片底部所示，“波”成为水平线。
在这个阶段，用钟来描述波，似乎是小题大做了。确实，如果只是想把两列水波加起来，我们只需要把每列波的高度相加，完全不需要钟。对于水波这样说没错，但我们并不是执着于使用工具，引入这些钟自有原因。后面会很快看到，使用钟面来描述特别灵活，对于描述量子粒子是绝对必要的。
记住这条以后，我们现在需要花一点时间，发明一套精确描述钟面读数的相加规则。把规则应用于图3.3的情形中，必须得出相“抵消”的结果，什么都不剩下。诸如12点抵消6点，3点抵消9点等。当然，这种完美抵消是两列波完全异相的特殊情形。我们要找到一套更通用的规则，用于描述任意形状、任意相位的两列波相加的一般规则。
图3.4展示的是另外两列波。这次它们的对齐方式有所不同，一列波与另一列相比，只是相位略有偏置。我们还是用钟标记出了波峰、波谷及其中点。现在，上面一列波的12点与下面一列的3点对齐。接下来我们将要阐明这两列波相加的规则，就是平行移动一块钟的指针，使其头部与另一块钟的指针尾部重合。然后我们画一根新的指针，连接前一根指针的尾部和后一根指针头部，补齐三角形。这个方法的图解在图3.5中。新指针的长度与其他两者不同，并指向不同的方向；它可以放在新的钟面上，用来描述原来的两列波之和。
图3.4：两列稍为偏置的波。上面一列波和中间一列波相加得到底部的波。
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