由于密文中的字母数量太少，简单的统计分析法失效了，勒格朗先生只得另想办法，利用英语中不同词语具体的结构特征来破译密码。首先，他注意到密文中“88”这个组合出现得相当频繁（5次），这进一步印证了“8就是e”的猜想，因为众所周知，e在英语单词中经常成对出现（例如：meet、fleet、speed、seen、been、agree等等）。此外，如果8真的是e，那么你会经常看到它出现在常用词“the”里。仔细审视整段密文，我们发现，在这段短短的文字里，“;48”这个组合出现了7次；如果“;48”就是“the”，那么“;”代表“t”，4代表“h”。
如果读者想看勒格朗先生破译基德船长密文的详细描述，那么不妨读一读爱伦·坡的原著。现在我们长话短说，最后勒格朗先生发现，这段密文实际上说的是：“主教客栈的魔鬼座位上有面好镜子。北偏东41度13分。主干上东边的第七根枝丫。从骷髅头的左眼开一枪。从树下出发，沿着子弹的轨迹向外走50英尺。”
勒格朗先生最后破译出的每个符号的正确含义见表格最右列。你会看到，它们并不完全符合概率分布规则。当然，这是因为文本太短，概率规则没有大显身手的机会。不过即便是在这么短的一段“统计学样本”里，我们也能注意到字母遵照概率规则分布的趋势，如果扩大样本的规模，这样的趋势将变成牢不可破的铁律。
用大量试验验证概率规则的实际案例似乎只有一个（其实还有个好例子：保险公司都还没破产呐），那就是著名的“美国国旗和火柴问题”。
要探究这个问题，你需要一张红白条纹的美国国旗；如果找不到这样的旗帜，你可以在一大张纸上画一组距离相等的平行线。还要一盒火柴——什么样的火柴都行，只要它的长度小于条纹的宽度就行。接下来，你还需要一个“希腊派”，我说的可不是吃的派，而是希腊字母中的π，它相当于英语里的“p”。希腊语中的这个字母通常用于表示圆的周长与其直径的比值，也就是圆周率。你或许记得，π的值等于3.1415926535……（小数点后面还有很多位，但我们不必把它全都写出来）。
现在，我们把旗帜放在桌面上展平，将一根火柴扔到空中，然后看着它落在旗帜上（图88）。火柴可能完全落在某根条纹内部，也可能与两根条纹的边界相交。这两种情况发生的概率分别是多少呢？
按照我们计算其他概率问题的方法，首先我们得弄清每种情况各有几种可能性。
但火柴可能落在旗帜上的任何位置，我们怎么数得清所有的可能性呢？
我们不妨稍微深入地思考一下这个问题。如图89所示，我们可以用两个参数来描述坠落的火柴相对于条纹的位置：火柴中点与最近的条纹边界之间的距离，以及火柴棍与条纹边界的夹角。我们画出了三种典型的火柴位置，为了方便起见，我们假设火柴长度等于条纹宽度，比如说，它们都是2英寸。如果火柴中点离条纹边界很近，而且火柴棍和边界线之间的夹角很大（情况a），那么火柴棍将与边界线相交。反过来说，如果夹角小（情况b）或者距离大（情况c），那么火柴就会留在两条边界线之间。更确切地说，如果火柴在垂直方向上的投影的一半大于火柴中点到条纹边界的距离（情况a），那么火柴必然与边界线相交，反之则不会相交（情况b）。图89下半部分的坐标图体现了这个结论。水平轴（横坐标）代表火柴角度，以半径为1的圆弧长度来表示；垂直轴（纵坐标）代表火柴垂直投影的一半；根据三角函数，这个投影长度应该是给定弧长的正弦值。显然，零度角的正弦值等于零，因为在这种情况下，火柴的位置是水平的。如果弧长为π/2，那么它代表的是直角 ，[93]其正弦值等于1，因为火柴落在垂直位置，垂直投影等于它本身的长度。如果弧长介于0和π/2之间，那么它的正弦值就是我们熟悉的正弦曲线。（图89画出的只是完整正弦曲线的1/4，即0到π/2之间的部分）
画好了这张图以后，我们可以利用它方便地推算火柴与边界线相交或不相交的概率。事实上，正如我们刚才看到的（图89上半部分的三个例子），如果火柴中点与边界线之间的距离小于其垂直投影的一半，也就是说，小于其弧长的正弦值，那么二者相交。在我们这张弧长-距离坐标图中，这样的点必然落在正弦曲线下方。反过来说，坐标落在正弦曲线上方的点代表火柴与边界线不相交。
因此，根据我们计算概率的规则，相交与不相交两种情况的相对比例应该等于正弦曲线下方区域面积与上方区域面积之比；也就是说，我们可以通过计算矩形内部被正弦曲线分开的两块区域面积来确定两个事件发生的概率。我们可以从数学上证明（见第二章），正弦曲线下方的面积正好等于1；由于矩形的总面积为 ，我们发现，火柴与边界线（火柴长度等于条纹宽度的情况下）相交的概率是： 。
在这个案例中，π竟然出人意料地冒了出来，18世纪的科学家布丰伯爵（CountBuffon）首次观察到了这个有趣的现象，所以“火柴与旗帜”问题又叫布丰问题。
勤勉的意大利数学家拉兹瑞尼（Lazzerini）真的做了这个实验，他扔了3408次火柴，结果观察到，火柴与边界线相交的情况一共出现了2169次。将这个结果代入布丰方程，那么 ，精确到了小数点后第七位！
当然，这的确是个验证概率规则的有趣实验，但也并不比扔硬币更有趣：要是你连续扔几千次硬币，然后用总的次数除以正面向上的次数，得到的结果肯定是2。当然，你最后算出来的数应该是2.0000000……误差大概和拉兹瑞尼算出的π一样小。
哦豁，小伙伴们如果觉得倾城文选不错，记得收藏网址 或推荐给朋友哦~拜托啦 (>.<)
传送门：
从一到无穷大
从一到无穷大免费阅读