若一直线与一圆相切，从切点在圆内作一直线与圆相截，则该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角。
Ifastraightlinetouchacircle, andfromthepointofcontacttherebedrawnacross, inthecircle, astraightlinecuttingthecircle, theangleswhichitmakeswiththetangentwillbeequaltotheanglesinthealternatesegmentsofthecircle.
设直线EF与圆ABCD相切于点B，从点B在圆ABCD内作直线BD与圆相截；
我说，BD与切线EF成的角等于另一弓形上的角，即角FBD等于在弓形BAD内所作的角，角EBD等于在弓形DCB内所作的角。
这是因为，从B作BA与EF成直角，
在圆周BD上任取一点C，
连接AD、DC、CB。
于是，由于直线EF与圆ABCD相切于B，
从切点作BA与切线成直角，所以
圆ABCD的圆心在BA上。
[III.19]
因此，BA是圆ABCD的直径；
因此，角ADB是半圆上的角，是直角。
[III.31]
因此，其余的角BAD、ABD之和等于一直角。
[I.32]
但角ABF也是直角；
因此，角ABF等于角BAD、ABD之和。
从它们中分别减去角ABD；
因此，余下的角DBF等于另一弓形上的角BAD。
接着，由于ABCD是圆内接四边形，所以
它的对角之和等于两直角。
[III.22]
但角DBF、DBE之和也等于两直角；
因此，角DBF、DBE之和等于角BAD、BCD之和，
已经证明，其中角BAD等于角DBF；
因此，余下的角DBE等于另一弓形DCB上的角DCB。
这就是所要证明的。
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