若任截一直线，则整条直线与所截线段之一所围成矩形的四倍与另一线段上的正方形之和等于整条直线与前一线段合成的直线上的正方形。
Ifastraightlinebecutatrandom, fourtimestherectanglecontainedbythewholeandoneofthesegmentstogetherwiththesquareontheremainingsegmentisequaltothesquaredescribedonthewholeandtheaforesaidsegmentasononestraightline.
设直线AB被任截于点C；
我说，AB、BC所围成矩形的四倍与AC上的正方形之和等于AB与BC合成直线上的正方形。
这是因为，延长直线AB成[直线]BD，使BD等于CB；
在AD上作正方形AEFD，且作两个这样的图。
于是，由于CB等于BD，而CB等于GK，且BD等于KN，
因此，GK也等于KN。
同理，
QR也等于RP。
又，由于BC等于BD，GK等于KN，
因此，CK等于KD，GR等于RN。
[I.36]
但CK等于RN，因为它们是平行四边形CP的补形；
[I.43]
因此，KD也等于GR；
因此，四个面DK、CK、GR、RN彼此相等。
因此，这四个面之和是CK的四倍。
又，由于CB等于BD，
而BD等于BK，即CG，
且CB等于GK，即GQ，
因此，CG也等于GQ。
又，由于CG等于GQ，且QR等于RP，
因此，AG等于MQ，且QL等于RF。
[I.36]
但MQ等于QL，这是因为它们是平行四边形ML的补形；
[I.43]
因此，AG也等于RF；
因此，四个面AG、MQ、QL、RF彼此相等。
因此，这四个之和是AG的四倍。
但已证明，四个面CK、KD、GR、RN之和是CK的四倍；
因此，构成拐尺形STU的八个面是AK的四倍。
现在，由于AK是矩形AB、BD，这是因为BK等于BD，
因此，矩形AB、BD的四倍是AK的四倍。
但已证明，拐尺形STU是AK的四倍；
因此，矩形AB、BD的四倍等于拐尺形STU。
给它们分别加上OH，后者等于AC上的正方形；
因此，矩形AB、BD的四倍与AC上的正方形之和等于拐尺形STU与OH之和。
但拐尺形STU与OH之和等于在AD上作的整个正方形AEFD；
因此，矩形AB、BD的四倍与AC上的正方形之和等于AD上的正方形。
而BD等于BC；
因此，矩形AB、BC的四倍与AC上的正方形之和等于AD上的正方形，即等于AB与BC合成直线上的正方形。
这就是所要证明的。
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