截一条给定的直线，使整条直线与截取的线段之一所围成的矩形等于其余线段上的正方形。
Tocutagivenstraightlinesothattherectanglecontainedbythewholeandoneofthesegmentsisequaltothesquareontheremainingsegment.
设AB是给定的直线；
于是，要求截AB，使它与截取的线段之一所围成的矩形等于其余线段上的正方形。
在AB上作正方形ABDC。
[I.46]
设AC被二等分于点E，连接BE；
延长CA到F，取EF等于BE；
设FH是在AF上作的正方形，延长GH到K。
我说，H就是AB上所要求作的截点，它使AB、BH所围成的矩形等于AH上的正方形。
这是因为，由于直线AC被二等分于点E，且给它加上FA，所以
CF、FA所围成的矩形与AE上的正方形之和等于EF上的正方形。
[II.6]
而EF等于EB；
因此，矩形CF、FA与AE上的正方形之和等于EB上的正方形。
但BA、AE上的正方形之和等于EB上的正方形，因为A处的角是直角；
[I.47]
因此，矩形CF、FA与AE上的正方形之和等于BA、AE上的正方形之和。
从它们中各减去AE上的正方形；
因此，余下的矩形CF、FA等于AB上的正方形。
现在，矩形CF、FA等于FK，这是因为AF等于FG；
而AB上的正方形是AD；
因此，FK等于AD。
从它们中各减去AK；
因此，余下的FH等于HD。
又，HD是矩形AB、BH，这是因为AB等于BD；
而FH是AH上的正方形；
因此，AB、BH所围成的矩形等于HA上的正方形。
于是，H就是给定的直线AB上的截点，使AB、BH所围成的矩形等于HA上的正方形。
这就是所要作的。
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