一直线与平行直线相交所成的错角相等，外角等于同位内对角，且同旁内角之和等于两直角。
Astraightlinefallingonparallelstraightlinesmakesthealternateanglesequaltooneanother, theexteriorangleequaltotheinteriorandoppositeangle, andtheinterioranglesonthesamesideequaltotworightangles.
设直线EF与平行直线AB、CD相交。
我说，错角AGH、GHD相等，同位角EGB、GHD相等，且同旁内角即BGH、GHD之和等于两直角。
这是因为，如果角AGH不等于角GHD，则其中一个较大。
设角AGH较大。
给它们分别加上角BGH；
因此，角AGH、BGH之和大于角BGH、GHD之和。
但角AGH、BGH之和等于两直角；
[I.13]
因此，角BGH、GHD之和小于两直角。
但两条直线无定限延长后在两个内角之和小于两直角的一侧相交；
[公设5]
因此，AB、CD若无定限延长会相交；
但它们并不相交，因为根据假设它们是平行的。
因此，角AGH并非不等于角GHD，因此等于它。
又，角AGH等于角EGB；
[I.15]
因此，角EGB也等于角GHD。
[公理1]
给它们分别加上角BGH；
因此，角EGB、BGH之和等于角BGH、GHD之和。
[公理2]
但角EGB、BGH之和等于两直角；
[I.13]
因此，角BGH、GHD之和等于两直角。
这就是所要证明的。
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