一圆截一圆，其交点不多于两个。
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这是因为，设圆ABC截圆DEF的交点多于两个，即B、G、F、H；
连接BH、BG，设它们被二等分于点K、L，从K、L作KC、LM与BH、BG成直角，并让它们通过点A、E。
于是，由于圆ABC内一直线AC把另一直线BH截成相等的两部分且相交成直角，所以
圆ABC的圆心在AC上。
[III.1，推论]
又，由于同一圆ABC内一直线NO把另一直线BG截成相等的两部分且相交成直角，所以
圆ABC的圆心在NO上。
但已证明它在AC上，而且除点P外，直线AC、NO没有交点；
因此，点P是圆ABC的圆心。
类似地，可以证明，P也是圆DEF的圆心；
因此，彼此相截的两圆ABC、DEF有共同的圆心P：
这是不可能的。
[III.5]
这就是所要证明的。
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