雪花的对称性是一种几何对称性，我们可以用肉眼看到。伽利略相对性原理背后的对称性用肉眼是看不到的，它很抽象，但却不难理解。规范对称性和伽利略相对性原理一样抽象，但稍微想象一下也可以理解它。为了把我们提供的描述和数学联系起来，我们刚才深入到了主方程中。让我们再来一次。我们刚才说过，物质粒子在主方程中用希腊符号Ψ表示。现在更深入地研究下。Ψ是场。它可能是电子场，或者上夸克场，或者是标准模型中的任何物质粒子场。无论是哪个，场有最大值的地方就是离子最有可能出现的地方。现在把讨论集中到电子身上，但是这些讨论对夸克、中微子等其他粒子都是一样的。如果某个地方的场为零，那么那里就找不到粒子。提起场，你可能首先想象到一块长满了草儿的原野。但也许有山峰和峡谷的起伏地形更能使场形象化。有山峰的地方场最大，有峡谷的地方场最小。我们鼓励你想象出一个假象的电子场出来。令人惊讶的是，主方程是模棱两可的，它不能给出确切的答案，我们不能因此确定周围电子的位置。我们所能做的是指出，电子更可能出现在这里（有山峰的地方），而不太可能在那里（有峡谷的地方）被发现。我们可以确切地给出这里或那里发现电子的概率。这已经不错了。这种对微观世界描述的不确定性是由占主导地位的量子理论引起的，它只能处理事情发生的概率。对于微观距离，位置和动量等概念确实存在基本的不确定性。顺便说一下，爱因斯坦非常不喜欢世界按照概率定律运行的事实，对此他讲过一句著名的话：“上帝不投骰子。”但是，他不得不承认量子理论是非常成功的。它完美解释了我们在亚原子世界做的所有实验。如果没有量子物理，我们都无法理解计算机芯片的工作机制。也许将来会有人提出更好的理论，但目前量子理论是我们最好的工具。本书一直强调，当解释日常感受之外的现象时，我们发现大自然一点也没按照常识给出的规则运行。我们的常识发展出了宏观世界的力学，而不是量子力学。
现在，我们回到手头的任务上来。既然量子理论定义了游戏规则，那么我们就不得不谈谈电子场。但是，在明确场并布置了场的类比地形后，我们还没有完全把它讲完。量子领域的数学还潜伏有一个令人惊讶的问题。它们的描述有多余的地方。对地形上的点，无论是山峰还是峡谷，数学表明，我们必须指定该点的场值（比如，在地形类比中的海拔高度），这个场值对应着在该点发现粒子的概率；除了指定场值外，数学还要求我们必须指定该点处一个称为场的“相位”的量。最简单的相位图像可能是带有一个指针的表面或表盘（或仪表）。指针指向12点对应一个相位，指针指向12点半，对应另一个相位。想象一下，在电子场地形中的每一点上都放置一个微小钟面。每个钟面显示所在区域的相位。当然了，这些不是真正的钟表（它们不测量时间）。早在格拉肖夫、温伯格和萨拉姆之前，相位就已经被量子物理学家所熟知。除此之外，量子物理学家也普遍相信，不同点之间的相对相位很重要，但相位的实际值并不重要。比如，若把所有的小时钟拨快10分钟，什么也不会改变。重要的是每个时钟必须拨同样的量，若忘记一个，那么将会得到一个不同的电子场。因此，这个世界的数学描述有它多余的地方。
1954年，在格拉肖夫、温伯格和萨拉姆建立标准模型的前几年，在布鲁克海文实验室，共用一间实验室的两位物理学家杨振宁和罗伯特·米尔斯（RobertMills）就在思考相位冗余可能带来的重大意义。当人们无缘无故地摆弄想法时，物理学往往会因此取得进展，杨和米尔斯当时就做着这样的事情。他们很好奇，如果大自然根本不关心相位的话，会发生什么。也就是说，他们搞乱了相位，摆弄着方程，以便找出可能的结果。这事听起来很奇怪。但如果真让几个物理学家闲坐在办公室里，他们一定会干这种事情。现在，回到场的地形类比中，这好比走在场中，随意拨动着小时钟指针的场景。这看起来很简单——但是你不能这样做。这不是大自然的一种对称。
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